Question

【题目】在平面立角坐标系中，过点的圆的圆心在轴上，且与过原点倾斜角为的直线相切.

(1)求圆的标准方程；

(2)点在直线上，过点作圆的切线、，切点分别为、，求经过、、、四点的圆所过的定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、

【解析】

(1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案.

(2) 取线段的中点 ，经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.

(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得

由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，

由题意有，解得：，，

故圆的标准方程为.

(2)由圆的几何性质知，，，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，

设点的坐标为，则点的坐标为

有

则以为直径的圆的方程为：，整理为

可得.

令，解得或，

故经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、.