【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据题设条件可以得出AB⊥AP,CD⊥PD.而AB//CD,就可证明出AB⊥平面PAD.
进而证明出平面PAB⊥平面PAD.(2)先找出AD中点,找出相互垂直的线,建立以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长的空间直角坐标系,列出所需要的点的坐标,设
是平面
的法向量,
是平面
的法向量,根据垂直关系,求出
和
,利用数量积公式可求出二面角的平面角.
试题解析:(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面内做
,垂足为
,
由(1)可知, 平面
,故
,可得
平面
.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
.
由(1)及已知可得,
,
,
.
所以,
,
,
.
设是平面
的法向量,则
,即
,
可取.
设是平面
的法向量,则
,即
,
可取.
则,
所以二面角的余弦值为
.
点睛:高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数不超过
人时,飞机票每张收费
元;若旅行团的人数多于
人时,则予以优惠,每多
人,每个人的机票费减少
元,但旅行团的人数最多不超过
人.设旅行团的人数为
人,飞机票价格
元,旅行社的利润为
元.
(1)写出飞机票价格元与旅行团人数
之间的函数关系式;
(2)当旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.
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【题目】已知双曲线的渐近线方程为
,左焦点为F,过
的直线为
,原点到直线
的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线交双曲线于不同的两点C,D,问是否存在实数
,使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】朱载堉(1536~1611),是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为,第七个音的频率为
,则
=
A. B.
C.
D.
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【题目】在数列{an}中,a1=,其前n项和为Sn,且Sn=an+1-
(n∈N*).
(1)求an,Sn;
(2)设bn=log2(2Sn+1)-2,数列{cn}满足cn·bn+3·bn+4=1+(n+1)(n+2)·2bn,数列{cn}的前n项和为Tn,求使4Tn>2n+1-成立的最小正整数n的值.
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