【题目】在数列{an}中,a1=,其前n项和为Sn,且Sn=an+1-
(n∈N*).
(1)求an,Sn;
(2)设bn=log2(2Sn+1)-2,数列{cn}满足cn·bn+3·bn+4=1+(n+1)(n+2)·2bn,数列{cn}的前n项和为Tn,求使4Tn>2n+1-成立的最小正整数n的值.
【答案】(1) ;(2)2015.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合通径公式与前n项和之间的关系可得数列的通项公式为利用Sn=an+1-
有:
(2)结合(1)中的结论有: ,据此分组求和结合裂项求和可得
,据此可得关于
的不等式:
,求解不等式可得满足题意的最小正整数n的值为2 015.
试题解析:
(1)由Sn=an+1-,得Sn-1=an-
(n≥2),
两式作差得an=an+1-an,即2an=an+1(n≥2),∴=2(n≥2),
由a1=S1=a2-=
,得a2=1,∴
=2,
∴数列{an}是首项为,公比为2的等比数列.
则an=·2n-1=2n-2,Sn=an+1-
=2n-1-
.
(2)bn=log2(2Sn+1)-2=log22n-2=n-2,
∴cn·bn+3·bn+4=1+(n+1)(n+2)·2bn,
即cn(n+1)(n+2)=1+(n+1)(n+2)·2n-2,
∴cn=+2n-2
=-
+2n-2,
∴Tn=(-
)+(
-
)+…+(
-
)
+(2-1+20+…+2n-2)
=-
+
=-
-
+2n-1
=2n-1-.
由4Tn>2n+1-,
得4(2n-1-)>2n+1-
.
即<
,n>2 014.
∴使4Tn>2n+1-成立的最小正整数n的值为2 015.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【题目】设 ,
是非零向量,则“
,
共线”是“|
|+|
|=|
+
|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,
(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求
的分布列及均值.
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【题目】已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=,且数列{bn}的前
项和为Sn=360,求
的值.
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【题目】如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,面
.
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证:面
(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。
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【题目】如图所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛
,要求
点在
上,
点在
上,且对角线
过
点,已知
米,
米.
(1)要使矩形的面积大于
平方米,则
的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时,矩形花坛
的面积最小?并求出最小值.
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【题目】假设小明订了一份报纸,送报人可能在早上6:30﹣7:30之间把报纸送到,小明离家的时间在早上7:00﹣8:00之间,则他在离开家之前能拿到报纸的概率( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某省组织了一次高考模拟考试,该省教育部门抽取了1000名考生的数学考试成绩,并绘制成频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求样本中数学成绩在95分以上(含95分)的学生人数;
(Ⅱ)已知本次模拟考试全省考生的数学成绩X~N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数,σ2近似为样本方差,试估计该省的所有考生中数学成绩介于100~138.2分的概率;
(Ⅲ)以频率估计概率,若从该省所有考生中随机抽取4人,记这4人中成绩在[105,125)内的人数为X,求X的分布列及数学期望.
参考数据: ≈18.9,
≈19.1,
≈19.4.
若Z∽N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.9826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9976.
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