Question

【题目】某省组织了一次高考模拟考试，该省教育部门抽取了1000名考生的数学考试成绩，并绘制成频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数；
（Ⅱ）已知本次模拟考试全省考生的数学成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差，试估计该省的所有考生中数学成绩介于100～138.2分的概率；
（Ⅲ）以频率估计概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在[105，125）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考数据： ≈18.9， ≈19.1， ≈19.4．
若Z∽N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9976．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，成绩在95分以下（不含95分）的频率为： （0.002+0.008+0.014+0.015）×10=0.39，
∴样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数为：
1000×（1﹣0.39）=610．
（Ⅱ）∵ =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
S2=1600×0.02+900×0.08+400×0.14+100×0.15+0×0.24+100×0.15+400×0.1+900×0.08+1600×0.04=366．
∴X～N（100，366），故p（100＜x＜138.2）= =0.4772．
（Ⅲ）依题意，成绩在[105，125）内的频率是0.25，故X～B（4， ），
P（X=0）=（ ）4= ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）=（ ）4= ，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P

∵X～B（4， ），∴E（X）=4× =1
【解】（Ⅰ）先求出成绩在95分以下（不含95分）的频率，由此能求出样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数．（Ⅱ）先分别求出 ，S2 ， 从而X～N（100，366），由此能求出p（100＜x＜138.2）的值．（Ⅲ）成绩在[105，125）内的频率是0.25，故X～B（4， ），由此能求出X的分布列和E（X）．
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．