Question

【题目】已知四棱锥，底面是边长为的菱形， ， 为的中点， ，

与平面所成角的正弦值为.

(1)在棱上求一点，使平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 为中点；(2) .

【解析】试题分析 : (1) 以为轴， 为轴，建立空间直角坐标系.

其中： ， ， ， ， ，

.求出平面的法向量 由已知可得

，因此，故

设， ， ，则： .

求出平面的法向量.，因此，

(2)由（1）可知平面的法向量，平面的法向量，

则由二面角为锐二面角，因此，二面角的余弦值为.

试题解析:

(1)以为轴， 为轴， 与的交点为，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.

其中： ， ， ， ， ，

.

设平面的法向量， ， .

所以所以

所以，

因此，故

设， ， ，则： .

设平面的法向量为， ，

所以故.

，所以，因此，所以为中点.

(2)平面的法向量，平面的法向量，

由二面角为锐二面角，因此，二面角的余弦值为.