Question

【题目】如图，在梯形中， ， ， ，平面平面，四边形是矩形， ，点在线段上，且．

（1）求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如本题设与交于点，利用三角形相似可得,再根据平行四边形性质可得,（2）求线面角，关键在找平面的垂线，由, 可得： 平面，即平面, 平面,因此过点作的垂线交于点，则由面面垂直性质定理可得平面.又，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，最后根据直角三角形求线面角.

试题解析：（1）证明：在梯形中，

∵， ， ，

∴四边形是等腰梯形，且， ，

∴，∴，

又∵，∴.

设与交于点， ，

由角平分线定理知： ，连接，

则且，

∴四边形是平行四边形，∴，

又平面，∴平面.

（2）由题知： ，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线交于点，

∵， ， ，

∴平面，即平面，∴，

又∵， ，∴平面.

在中， ，

在中， ，

∴直线与平面所成角的正弦值为，

即直线与平面所成角的余弦值为.