Question

为抗击金融风暴，某工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持.该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估，并依据评估得分将这些企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级，然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额，其评估标准和贷款金额如下表：

评估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90]
评定类型	不合格	合格	良好	优秀
贷款金额（万元）	0	200	400	800

为了更好地掌控贷款总额，该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数，得其频率分布直方图如下：

（Ⅰ）估计该系统所属企业评估得分的中位数；

（Ⅱ）该系统要求各企业对照评分标准进行整改，若整改后优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列，系统所属企业获得贷款的均值(即数学期望)不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是多少？

Answer 1

（Ⅰ）68.75

（Ⅱ）10%

解析:

（Ⅰ）因为，，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间[60，70）内。                                （2分）

设中位数为x，则，解得x＝8.75。                              （4分）

估计该系统所属企业评估得分的中位数是68.75。                                （5分）

（Ⅱ）据题意，整改后优秀企业的频率为10×0.025＝0.25，不合格企业，合格企业，良好企业的频率成等差数列。                                                           （6分）

设该等差数列的首项为a，公差为d，则3a＋3d＝1－0.25＝0.75，即a＋d＝0.25。    （8分）

设该系统所属企业获得贷款的均值为Eξ，则

Eξ＝a×0＋(a＋d)×200＋(a＋2d)×400＋0.25×800

＝0.25×200＋(0.25＋d)×400＋0.25×800＝400d＋350＝450－400a。            （10分）

由Eξ≥410，得450－400a≥410，即a≤0.1。                                 （11分）

故整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是10%。                      （12分）