Question

如图，圆O的方程为x²+y²=2，直线l是椭圆的左准线，A、B是该椭圆的左、右焦点，点P为直线l上的一个动点，直线AQ⊥OP交圆O于点Q．
（Ⅰ）若点P的纵坐标为4，求此时点Q的坐标，并说明此时直线PQ与圆O的位置关系；
（Ⅱ）求当∠APB取得最大值时P点的坐标．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得A（-1，0），B（1，0），直线l的方程为x=-2，
∴P（-2，4），
∴，
∵AQ⊥OP，
∴．
∴直线AQ的方程为y=，即x-2y+1=0．
由，消去x并整理得5y²-4y-1=0．
解得y=1，或y=-．
当y=1时x=1，当 y=-时，xx=．
∴Q点的坐标为 （，-）或（1，1）．
当Q为（1，1）时，直线PQ的方程x+y-2=0．
圆心O到直线的距离为 ，∴PQ与圆O相切．
同理可得，当Q为 时，PQ也与圆O相切．
（Ⅱ）不妨设P点在x轴上方，设P（-2，m）（m＞0）．
设准线l与x轴交于点Q，记 BPQ=α，APQ=β，
∴tan∠APB=tan（α-β）
=
=
=

=．
当且仅当m= 时取得等号．
显然 APB为锐角，故 APB的最大值为30°，
此时P点的坐标（-2， ）．
分析：（Ⅰ）由题意得A（-1，0），B（1，0），直线l的方程为x=-2，直线AQ的方程为x-2y+1=0．由，解得Q点的坐标为 （，-）或（1，1）．由此能推导出PQ与圆O相切．
（Ⅱ）设P点在x轴上方，设P（-2，m）（m＞0）．设准线l与x轴交于点Q，记 BPQ=α，APQ=β，所以tan∠APB=tan（α-β）==．由此能求出当∠APB取得最大值时P点的坐标．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．