Question

3．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-2y-2≥0\\ 2x+y-4≥0\\ x-y-3≤0\end{array}\right.$则x²+（y+2）²的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{65}{9}$，25]
• B． [$\frac{36}{5}$，25]
• C． [16，25]
• D． [9，25]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由x²+（y+2）²的几何意义，即可行域内的动点与定点（0，-2）距离的平方求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-2y-2≥0\\ 2x+y-4≥0\\ x-y-3≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-3=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{7}{3}，-\frac{2}{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-2=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得C（4，1），
由图可知，点（0，-2）与可行域内点B（$\frac{7}{3}，-\frac{2}{3}$）的距离的平方最小为$（\frac{7}{3}）^{2}+（-\frac{2}{3}+2）^{2}=\frac{65}{9}$；
点（0，-2）与可行域内点C（4，1）的距离的平方最大为4²+（-2-1）²=25．
∴x²+（y+2）²的取值范围是[$\frac{65}{9}$，25]．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．