Question

己知L₁、L₂是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且L₁、L₂与双曲线y²－x²=1各有两个交点，且分别为A₁、B₁和A₂、B₂。

(1)求L₁的斜率k₁的取值范围；

(2)若A₁恰是双曲线的一个顶点，求|A₂B₂|的值。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)据题意，L1、L2的斜率都存在， 因为L1过点P（－，0），且与双曲线有两个交点，故方程组 　　　　　　 ① 有两个不同的解。 在方程组①中，消去y，整理得 （k12－1）x2+2k12x+2k12－1=0    ② 若k12－1=0,直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。故k12－1≠0，即|k1|≠1 方程②的判别式为 △1=（2k12）2－4(k12－1)(2k12－1)   =4(3k12－1) 设L2的斜率为k2，因为L2过点P（－，0），­且与双曲线有两个交点，故方程组 　　　　   ③ 有两个不同的解。 在方程组③中消去y，整理得 （k22－1）x2+2k22x+2k22－1=0   ④ 同理有k22－1≠0，△2=4（3k22－1） 因为L1⊥L2，所以有k1·k2=－1,于是L1、L2与双曲线各有两个交点的充要条件是 ∴k1∈（－，－1）∪（－1，－）∪（，1）∪（1，）。 (2)双曲线y2－x2=1的顶点为（0，－1）、（0，1），取A1（0，1）时，有k1(0+)=1 解得k1= ∴k2=－,代入方程④得 x2+4x+3=0。　　　　　　  ⑤ 设L2与双曲线的两个交点的坐标为A2（x1,y1）、B2（x2,y2）, 则x1+x2=－4,x1x2=3 ∴|A2B2|= =3 当取A1（0，－1）时，由双曲线y2－x2=1关于x轴对称，知|A2B2|=2 ∴L1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2。