Question

(本小题满分14分)
设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．
(1)若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
(2)若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

Answer 1

解：由函数得， …………3分
(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当
，
即． …………………………………………………7分
(Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．…………………8分
当时，显然成立。   ………………………9分
当，
∵的最小值是．
∴．
从而解得      ……………………………………11分
当，
∵的最大值是，∴，
从而解得．                  ……………………………13分
综上可得，从而        ……………14分

略