Question

（2009•朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是

4

15

，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是

4

15

建立等式关系，求出n的值，从而求出红球的个数．
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；

解答：解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则P(A)=

1

5

．
所以，P3(2)=

C

2 3

•(

1

5

)2•

4

5

=

12

125

．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为

12

125

．    …（4分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则P(B)=

C 2 3 + C 2 n + C 2 7-n

C 2 10

=

6+n(n-1)+(7-n)(6-n)

90

=

4

15

，
整理得：n²-7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．
所以，红球的个数为3个．        …（8分）
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

，P(ξ=3)=

C 1 4 C 1 3

C 2 10

=

4

15

，P(ξ=4)=

C 1 3 C 1 4 + C 2 3

C 2 10

=

1

3

，P(ξ=5)=

C 1 3 C 1 3

C 2 10

=

1

5

，P(ξ=6)=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

．
所以ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6
P	2 15	4 15	1 3	1 5	1 15

所以，Eξ=2×

2

15

+3×

4

15

+4×

1

3

+5×

1

5

+6×

1

15

=

19

5

．…（13分）

点评：本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题的关键是正确利用公式求概率．