Question

（文）一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．
（1）判断f₁（x）=

x

，f₂（x）=x，f₃（x）=x²中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
（2）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），证明g（x）不是“三角形函数”；
（3）若函数F（x）=sinx，x∈（0，A），当A＞

5π

6

时，F（x）不是“三角形函数”．

Answer 1

分析：（1）任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边；
（2）要想一个函数不是“三角形函数”关键是根据题中条件g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），举出反例；
（3）当 A＞

5π

6

，取

π

2

，

5π

6

，

5π

6

∈(0，A)，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但 sin

π

2

=1，sin

5π

6

=

1

2

，sin

5π

6

=

1

2

不能作为任何一个三角形的三边长，最后给出结论．

解答：解：（1）f₁（x），f₂（x）是“三角形函数”，f₃（x）不是“三角形函数”．
任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
由于

a

+

b

＞

a+b

＞

c

＞0，所以f₁（x），f₂（x）是“保三角形函数”．
对于f₃（x），3，3，5可作为一个三角形的三边长，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²为三边长，故f₃（x）不是“保三角形函数”．
（2）设T＞0为g（x）的一个周期，由于其值域为（0，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整数 λ＞

n-m

T

，可知λT+m，λT+m，n这三个数可作为一个三角形的三边长，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作为任何一个三角形的三边长．
故g（x）不是“三角形函数”．
（3）当 A＞

5π

6

，
取

π

2

，

5π

6

，

5π

6

∈(0，A)，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，
但 sin

π

2

=1，sin

5π

6

=

1

2

，sin

5π

6

=

1

2

不能作为任何一个三角形的三边长，
故F（x）不是“三角形函数”．

点评：本小题主要考查进行简单的合情推理、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．要想判断f（x）为“三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“三角形函数”，仅须要举出一个反例即可．