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    已知非零向量
    OA
    ，
    OB
    ，
    OC
    满足：
    OA
    =a
    OB
    +β
    OC
    （a，β∈R），给出下列命题：
    ①若a=
    3
    2
    ，β=-
    1
    2
    ，则A、B、C三点共线；
    ②若a＞0，β＞0，|
    OA
    |=
    		3
    ，|
    OB
    |=|
    OC
    |=1，＜
    OB
    ，
    OC
    ＞=
    2π
    3
    ，＜
    OA
    ，
    OB
    ＞=
    π
    2
    则a+β=3；
    ③已知等差数列{an}中，an＞an+1＞0（n∈N*），a2=a，a2009=β若A、B、C三点共线，但O点 不在直线BC上，则
    1
    a3
    +
    4
    a2008
    的最小值为9；
    ④若β≠0，且A、B、C三点共线，则A分
    BC
    所在的比λ一定为
    a
    β
    ．
    其中你认为正确的所有命题的序号是
    ①②③④
    ①②③④
    ．
    分析：根据向量共线的充要条件即当
    OA
    =a
    OB
    +β
    OC
    ，a+β=1?A、B、C三点共线，可判断①真假；进而结合等差数列的性质及基本不等式可判断出③的真假，进而根据定点分线段所成比的定义，可判断④的真假，另外根据向量数量积运算公式，构造方程求出α，β值，进而判断出②的真假．
    解答：解：根据向量共线的充要条件，可得当
    OA
    =a
    OB
    +β
    OC
    ，a+β=1时，A、B、C三点共线，故当a=
    3
    2
    ，β=-
    1
    2
    ，A、B、C三点共线，故①正确；
    ∵|
    OA
    |=
    		3
    ，|
    OB
    |=|
    OC
    |=1，＜
    OB
    ，
    OC
    ＞=
    2π
    3
    ，＜
    OA
    ，
    OB
    ＞=
    π
    2
    ，∴
    OB
    •
    OC
    =-
    1
    2
    ，
    OA
    •
    OB
    =0；
    OA
    2=（a
    OB
    +β
    OC
    ）2=a2
    OB
    2+2aβ
    OB
    •
    OC
    +β2
    OC
    2    =a2-aβ+β2=3
    OA
    •
    OB
    =（a
    OB
    +β
    OC
    ）•
    OB
    =a
    OB
    2+β
    OC
    •
    OB
    =a-
    1
    2
    β=0；
    又∵a＞0，β＞0，∴a=1，β=2，即a+β=3，故②正确；
    A、B、C三点共线，a2+a2009=a+β=1=a3+a2008，则
    1
    a3
    +
    4
    a2008
    =（
    1
    a3
    +
    4
    a2008
    ）（a3+a2008）≥1+4+2
    a2008
    a3
    •
    4a3
    a2008
    =9，故③正确；
    若A、B、C三点共线，则A分
    BC
    所在的比λ=
    BA
    AC
    =
    OA
    -
    OB
    OC
    -
    OA
    =
    (α-1)
    OB
    +β
    OC
    -α
    OB
    +(1-β)
    OC
     
     
    =
    -β
    OB
    +β
    OC
    -α
    OB
    +α
    OC
     
     
    =
    a
    β
    ，故④正确；
    故答案为：①②③④
    点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握向量共线的充要条件即当
    OA
    =a
    OB
    +β
    OC
    ，a+β=1?A、B、C三点共线，是解答的关键．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知非零向量
    OA
    、
    OB
    、
    OC
    、
    OD
    满足：
    OA
    =α
    OB
    +β
    OC
    +γ
    OD
    (α，β，γ∈R)    ，B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
    ①若α=
    3
    2
    ，β=
    1
    2
    ，γ=-1    ，则A、B、C、D四点在同一平面上；
    ②当α＞0，β＞0，γ=
    		2
    时，若|
    OA
    |=
    		3
    ，|
    OB
    |=|
    OC
    |=|
    OD
    |=1    ，＜
    OB
    ，
    OC
    ＞=
    5π
    6
    ，＜
    OD
    ，
    OB
    ＞=＜
    OD
    ，
    OC
    ＞=
    π
    2
    ，则α+β的最大值为
    		6
    -
    		2
    ；
    ③已知正项等差数列an（n∈N*），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
    1
    a3
    +
    4
    a2008
    的最小值为9；
    ④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，则A、B、C三点共线且A分
    BC
    所成的比λ一定为
    α
    β
    ．
    其中你认为正确的所有命题的序号是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•宿州三模）在数列{an}中，已知an+1+an-1=2an（n∈N+，n≥2），若平面上的三个不共线的非零向量
    OA
    、
    OB
    、
    OC
    ，满足
    OC
    =a1005
    OA
    +a1006
    OB
    ，三点A、B、C共线，且直线不过O点，则S2010等于（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•成都一模）已知非零向量
    OA
    、
    OB
    、
    OC
    、
    OD
    满足：
    OA
    =α
    OB
    Z+β
    OC
    Z+γ
    OD
    Z（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
    ①若α=
    3
    2
    ，β=
    1
    2
    ，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
    ②若α=β=γ=1，|
    OB
    Z|+|
    OC
    |+|
    OD
    |=1，＜
    OB
    ，
    OD
    ＞=＜
    OC
    ，
    OD
    ＞=
    π
    2
    ，＜
    OB
    ，
    OC
    ＞=
    π
    3
    ，则|
    OA
    |=2；
    ③已知正项等差数列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
    1
    a3
    +
    4
    a2008
    的最小值为10；
    ④若α=
    4
    3
    ，β=-
    1
    3
    Z，γ=0，则A、B、C三点共线且A分
    BC
    所成的比λ一定为-4
    其中你认为正确的所有命题的序号是
    ①②
    ①②
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量
    OA
    ， 
    OB
    满足|
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |    ．
    （Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；
    （Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为
    2
    		5
    5
    时，求p的值．

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