Question

已知A，B是抛物线x²=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量

OA

， 

OB

满足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|．
（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；
（Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为

2 5

5

时，求p的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证直线经过定点，只需找到直线方程，在验证不管参数为何值都过某一定点即可，可根据|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|判断直线OA，OB垂直，设AB方程，根据OA，OB垂直消去一些参数，再进行判断．
（Ⅱ）设AB中点的坐标根据OA，OB垂直，可得AB中点坐标满足的关系式，再用点到直线的距离公式求AB的中点到直线y-2x=0的距离的，求出最小值，让其等于

2 5

5

，解参数p即可．

解答：解：（Ⅰ）∵  |

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，
∴OA⊥OB．设A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）则 x₁²=2py₁，x₂²=2py₂．
经过A，B两点的直线方程为（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）．
由y1=

x 2 1

2p

，

y2=

x 2 2

2p

，得(x2-x1)(y-y1)=(

x 2 2

2p

-

x 2 1

2p

)(x-x1)．
∵x1≠

x2

∴y-y1=

x2+x1

2p

(x-x1)．令x=0，得y-y1=

x2+x1

2p

(-x1)，
∴y=-

x1x2

2p

（*）
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，从而x1x2+

x12x22

4p2

=0．
∵x₁x₂≠0（否则，

OA

，

OB

有一个为零向量），
∴x₁x₂=-4p²．代入（*），得 y=2p，
∴AB始终经过定点（0，2p）．
（Ⅱ）设AB中点的坐标为（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴x₁²+x₂²=2py₁+2py₂=2p（y₁+y₂）．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²+8p²，
∴4x²+8p²=4py，
即 y=

1

p

x2+2p．…①
AB的中点到直线y-2x=0的距离d=

|y-2x|

5

．
将①代入，得d=

| 1 p x2+2p-2x|

5

=

| 1 p (x-p)2+p|

5

=

1 p (x-p)2+p

5

．
因为d的最小值为

2 5

5

，
∴

p

5

=

2 5

5

，
∴p=2．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判断，注意韦达定理的应用．