Question

（2009•青浦区二模）（理）已知A、B是抛物线y²=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l₁，与过点B且斜率为1的直线l₂相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l₁、l₂相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x₀，0）．若x₀=5，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由直线与抛物线联立方程组解得A（16，-8），B（0，0），由点斜式写出两条直线l₁、l₂的方程，从而得出直线AB的斜率；
（2）推广的评分要求分三层：
一层：点P到一般或斜率到一般，或抛物线到一般，例子：1、已知A、B是抛物线y²=4x上的相异两点．设过点A且斜率为-1的直线l₁，与过点B且斜率为1的直线l₂相交于抛物线y²=4x上的一定点P(

t2

4

，t)，求直线AB的斜率等等；
二层：两个一般或推广到其它曲线；
三层：满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法）
（3）点Q（x₀，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y_i²=4x_i（i=1，2）．设线段AB的中点是M（x_m，y_m），斜率为k，写出线段AB的垂直平分线l的方程，又点Q（5，0）在直线l上，求出x_m=3．最后利用0＜y_m²＜4x_m=12，即可求出中点的纵坐标的取值范围．

解答：解：（理）（1）由

x+y-8=0 y2=4x.

解得A（16，-8）；由

x+y=0 y2=4x.

解得B（0，0）．
由点斜式写出两条直线l₁、l₂的方程，l₁：x+y-8=0；l₂：x-y=0，所以直线AB的斜率为-

1

2

． …（4分）
（2）推广的评分要求分三层
一层：点P到一般或斜率到一般，或抛物线到一般（（3分），问题（1分）、解答2分）
例：1、已知A、B是抛物线y²=4x上的相异两点．设过点A且斜率为-1的直线l₁，与过点B且斜率为1的直线l₂相交于抛物线
y²=4x上的一定点P(

t2

4

，t)，求直线AB的斜率；
2、已知A、B是抛物线y²=4x上的相异两点．设过点A且斜率为-k 1的直线l₁，与过点B且斜率为k的直线l₂相交于抛物线
y²=4x上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；
3、已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上的相异两点．设过点A且斜率为-1的直线l₁，与过点B且斜率为1的直线l₂相交于抛物线y²=2px（p＞0）上的一定点P(

t2

2p

，t)，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．
二层：两个一般或推广到其它曲线（（4分），问题与解答各占2分）
例：4．已知点Ρ是抛物线y²=4x上的定点．过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l₁、l₂，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
三层：满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（（7分），问题（3分）、解答4分）
例如：5．已知抛物线y²=2px上有一定点P，过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l₁、l₂，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
过点P（x₀，y₀），斜率互为相反数的直线可设为y=k（x-x₀）+y₀，y=k（x-x₀）+y₀，其中y₀²=2px₀．
由

y=k(x-x0)+y0 y2=2px

得ky²-2py+2py₀-ky₀²=0，所以A(

( 2p k -y0)2

2p

，

2p

k

-y0)
同理，把上式中k换成-k得B(

( 2p k +y0)2

2p

，-

2p

k

-y0)，所以
当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为-

p

y0

．
（3）点Q（x₀，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y_i²=4x_i（i=1，2）．
设线段AB的中点是M（x_m，y_m），斜率为k，则k=

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=

2

ym

．（12分）
所以线段AB的垂直平分线l的方程为y-ym=-

ym

2

(x-xm)，
又点Q（5，0）在直线l上，所以-ym=-

ym

2

(5-xm)，
而y_m≠0，于是x_m=3．                  …（13分）
（斜率kMQ=

ym-0

xm-5

，AB⊥MQ，

2

ym

=-

xm-5

ym

，则x_m=3  （13分）
线段AB所在直线的方程为y-ym=

2

ym

(x-3)，…（14分）
代入y²=4x，整理得4x²-24x+y_m⁴-12y_m²+36=0…（15分）x₁+x₂=6，x1•x2=

ym4-12ym2+36

4

．
设AB线段长为l，则l2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+

4

ym2

)[(x1+x2)2-4x1x2]
=（4+y_m²）（-y_m²+12）=-y_m⁴+8y_m²+48…（16分）
因为0＜y_m²＜4x_m=12，所以

y

m

∈(-2

3

， 0)∪(0， 2

3

)…（18分）
即：l=

- y 4 m +8 y 2 m +48

．（-2

3

＜ym＜2

3

）．

点评：本小题主要考查抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．