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    已知A、B是抛物线y2=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
    （I）求证：直线AB过定点M（4，0）；
    （II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的距离的最小值．
    分析：（I）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2-4my-4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M（4，0）．
    （II）P（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ）到直线x-y=0的距离d=
    |
    x1+x2
    2
    -
    y1+y2
    2
    |
    		2
    ，由此能求出点P到直线x-y=0的距离的最小值．
    解答：解：（I）设直线AB方程为x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
    将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，
    得y2-4my-4b=0，
    则y1+y2=4m，y1y2=-4b，
    ∵OA⊥OB，x1=
    y12
    4
    ，x2=
    y22
    4
    ，
    ∴kOA•kOB=
    y1y2
    x1x2
    =
    16
    y1y2
    =-
    4
    b
    =-1，b=4．
    于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．
    （II）P（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ）到直线x-y=0的距离
    d=
    |
    x1+x2
    2
    -
    y1+y2
    2
    |
    		2

    =
    |y12+y22-4(y1+y2)|
    8
    		2

    =
    |16m2+32-16m|
    8
    		2

    =
    		2
    (m2-m+2)
    =
    		2
    (m-
    1
    2
    )2    +
    7
    		2
    4
    ，
    当m=
    1
    2
    时，d取最小值
    7
    		2
    4
    ．
    点评：本题考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两点，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．
    （1）若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；
    （2）若
    OA
    •
    OB
    +p2=0    （A、B异于原点），直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点，求P点轨迹方程；
    （3）若直线AB过抛物线的焦点，分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T，求证：
    AT
    •
    BT
    =0    ，并且点T在l上．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•青浦区二模）（理）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
    （1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
    （2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
    （3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0=5，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•青浦区二模）（文）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
    （1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
    （2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
    （3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0＞2，试用x0表示线段AB中点的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量
    OA
    ， 
    OB
    满足|
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |    ．
    （Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；
    （Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为
    2
    		5
    5
    时，求p的值．

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