Question

已知A，B是抛物线x²=2py（p＞0）上的两点，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．
（1）若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；
（2）若

OA

•

OB

+p2=0（A、B异于原点），直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点，求P点轨迹方程；
（3）若直线AB过抛物线的焦点，分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T，求证：

AT

•

BT

=0，并且点T在l上．

Answer 1

分析：（ 1）由题，可设A（x₁，y₁），求导得y′=

x

p

，由点斜式可得过A点的抛物线的切线为y-y1=

x1

p

(x-x1)，再令x=0解出它与Y轴交点的坐标，由抛物线的性质解出|AF|与|CF|的长度，比较即可证明出结论；
（2）可先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．代入

OA

•

OB

+p2=0结合抛物线x²=2py（p＞0）得出x₁x₂=-2p²．再表示出直线OB的方程：y=

y2

x2

x=

x2

2p

x

，(1)

，直线m的方程：x=x1

(2)

，两者联立，解出P点的轨迹方程；
（3）可设T（x₀，y₀）．由题意，求导可得出kAT=

x1

p

，kBT=

x2

p

．由于AB是焦点弦，可设AB的方程为y=kx+

p

2

，代入x²=2py（p＞0）得：x²-2pkx-p²=0，由根与系数的关系得x₁x₂=-p²，于是k_AT•k_BT=-1，故AT⊥BT．由此得

AT

•

BT

=0，再由点T在直线AT，BT上，由同一性即可得点T在l上

解答：证明：（ 1）设A（x₁，y₁），因y′=

x

p

，则过A点的抛物线的切线为y-y1=

x1

p

(x-x1)，
令x=0，得yc=y1-

x 2 1

p

=-y1，所以|CF|=

p

2

-(-y1)=

p

2

+y1，
由定义知|AF|等于点A的抛物线的准线y=-

p

2

的距离，即|AF|=y1-(-

p

2

)=

p

2

+y1．所以|AF|=|CF|．    …（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
因为 

OA

•

OB

+p2=0，所以x₁x₂+y₁y₂+p²=0，x1x2+

x 2 1 x 2 2

4p2

+p2=0，(

x1 x   2

2p

+p)2=0，即x₁x₂=-2p²．
直线OB的方程：y=

y2

x2

x=

x2

2p

x

，(1)

，直线m的方程：x=x1

(2)

，
（1）×（2）得  xy=

x1x2

2p

x⇒xy+px=0，又x≠0，∴y=-p．即P点轨迹方程为y=-p．…（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），T（x₀，y₀）．则kAT=

x1

p

，kBT=

x2

p

．
由于AB是焦点弦，可设AB的方程为y=kx+

p

2

，代入x²=2py（p＞0）得：x²-2pkx-p²=0，
∴x₁x₂=-p²，于是k_AT•k_BT=-1，故AT⊥BT．
由（1）知，AT的方程：y=

x1

p

x-y1，∴y0=

x1

p

x0-y1，即x₀x₁-py₁=py₀，同理：x₀x₂-py₂=py₀．
∴AB的方程为x₀x-py=py₀，又∵AB过焦点，∴-

p2

2

=py0，即y0=-

p

2

，故T点在准线l上．…（12分）

点评：本小题主要考查直线及圆锥曲线，考查方程的思想及解析几何的基本思想，考查运算能力和综合解题的能力．