Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，$AB=2\sqrt{2}$，∠DAB=45°．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）运用余弦定理，可得BD=2，BD⊥AD，运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，因为底面ABCD是平行四边形，
所以F是AC中点．
在△PAC中，又E是PA中点，所以EF∥PC．
又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC；       
（Ⅱ）在△ABD中，因为$AD=2，AB=2\sqrt{2}$，∠DAB=45°，
由余弦定理得：BD=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-2×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
所以BD⊥AD．   
因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
又BD?平面ABCD，
所以BD⊥面PAD．
因为BD?面DEF，
所以平面DEF⊥平面PAD．

点评 本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．