Question

2．已知函数$f（x）=cos（{2x-\frac{π}{3}}）+{sin^2}x-{cos^2}x+\sqrt{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若存在$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$满足[f（t）]²-2$\sqrt{2}$f（t）-m＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{2}$，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），即可解得单调递增区间．
（2）当$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$时，可得：$2t-\frac{π}{6}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，解得：$f（t）=sin（{2t-\frac{π}{6}}）+\sqrt{2}∈[{\sqrt{2}，\sqrt{2}+1}]$，利用二次函数的性质即可得解．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+{sin^2}x-{cos^2}x+\sqrt{2}$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-cos2x+\sqrt{2}=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\sqrt{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
∵由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$（k∈Z），
∴单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]$（k∈Z）．
（2）当$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$时，可得：$2t-\frac{π}{6}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
解得：$f（t）=sin（{2t-\frac{π}{6}}）+\sqrt{2}∈[{\sqrt{2}，\sqrt{2}+1}]$
$⇒F（t）={[f（t）]^2}-2\sqrt{2}f（t）={[f（t）-\sqrt{2}]^2}-2∈[{-2，-1}]$．
存在$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，满足F（t）-m＞0的实数m的取值范围为（-∞，-1）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的图象和性质，属于基本知识的考查．