Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，AD=2，∠DAB=60°，E为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PDE；
（Ⅱ）若PD=2，求点E到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由已知得△BDC的等边三角形从而DE⊥AD，由线面垂直得PD⊥AD，由此能证明AD⊥平面PDE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用向量法能求出点E到平面PAC的距离．

解答 （1）证明：连结BD，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，AD=2，∠DAB=60°，E为BC的中点，
∴△BDC的等边三角形，∴DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∵PD⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又∵PD∩DE=D，∴AD⊥平面PDE．
（2）解：以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得P（0，0，2），A（2，0，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），E（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PE}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
∴点E到平面PAC的距离：d=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．