Question

12．用0，1，2，…9十个数字可组成多少个满足以下条件的没有重复数字的：
（1）五位奇数？
（2）大于30000的五位偶数？

Answer 1

分析 （1）要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有A₅¹种取法．取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，利用分步计数原理，可得结论；
（2）要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0，2中选取；②末位数字从4、6、8中选取，利用分类计数原理，可得结论．

解答 解：（1）要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有A₅¹种取法．取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有A₈³种不同的安排方法．因此由分步计数原理共有5×8×A₈³=13440个没有重复数字的五位奇数．
（2）要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0，2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A₈³种取法．所以共有2×7×A₈³种不同情况．
②末位数字从4、6、8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A₈³种选法，所以共有3×6×A₈³种不同情况．
由分类计数原理，共有2×7×A₈³+3×6×A₈³=10752个比30000大的无重复数字的五位偶数

点评 本题主要考查了分类、分步计数原理，如何分类是关键，要考虑特殊元素0．属于中档题．