Question

17．已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=7，b_n=$\frac{{b}_{n-1}^{2}-1}{{b}_{n-2}}$（n≥3）．求证：9b_nb_n+1+1是完全平方数．

Answer 1

分析 由递推公式求出数列的前4项，由此猜想9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．由递推公式得到${{b}_{n-1}}^{2}={b}_{n}{b}_{n-2}+1$，${{b}_{n}}^{2}={b}_{n+1}{b}_{n-1}+1$，从而得到7b_n=b_n+1+b_n-1，再用数学归纳法进行证明9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．由此能证明9b_nb_n+1+1是完全平方数．

解答 证明：∵数列{b_n}满足b₁=1，b₂=7，bn=$\frac{{b}_{n-1}^{2}-1}{{b}_{n-2}}$（n≥3），
9b₁b₂+1=9×1×7+1=64=8²=（b₁+b₂）²，
∴${b}_{3}=\frac{49-1}{1}$=48，9b₂b₃+1=9×7×48+1=55²=（b₂+b₃）²，
${b}_{4}=\frac{4{8}^{2}-1}{7}$=329，9b₃b₄+1=9×48×329+1=377²=（b₃+b₄）²，
由此猜想9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．
下面用数学归纳法进行证明：
①n=1时，9b₁b₂+1=9×1×7+1=64=8²=（b₁+b₂）²，成立；
②假设n=k时，成立，即9b_kb_k+1+1=（b_k+b_k+1）²，
∵数列{b_n}满足b₁=1，b₂=7，b_n=$\frac{{b}_{n-1}^{2}-1}{{b}_{n-2}}$（n≥3），
∴${{b}_{n-1}}^{2}={b}_{n}{b}_{n-2}+1$，${{b}_{n}}^{2}={b}_{n+1}{b}_{n-1}+1$，
∴${{b}_{n}}^{2}-{{b}_{n-1}}^{2}={b}_{n+1}{b}_{n-1}-{b}_{n}{b}_{n-2}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}+{b}_{n-1}}=\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}+{b}_{n-2}}$=…=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}+{b}_{3}}$=$\frac{1}{7}$，
∴7b_n=b_n+1+b_n-1，
∴9b_k+1b_k+2+1=9×$\frac{（{b}_{k}+{b}_{k+1}）^{2}-1}{9{b}_{k}}×{b}_{k+2}$+1
=$\frac{（{b}_{k}+{b}_{k+1}）^{2}-1}{{b}_{k}}×{b}_{k+2}+1$
=$\frac{{{b}_{k}}^{2}+2{b}_{k}{b}_{k+1}+{{b}_{k+1}}^{2}-1}{{b}_{k}}×{b}_{k+2}$+1
=（b_k+2b_k+1+b_k+2）×b_k+2+1
=b_kb_k+2+2b_k+1b_k+2+${{b}_{k+2}}^{2}$+1
=${{b}_{k+1}}^{2}+2{{b}_{k+1}{b}_{k+2}+{b}_{k+2}}^{2}$
=（b_k+1+b_k+2）²，
即9b_k+1b_k+2+1=（b_k+1+b_k+2）²成立，
∴9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．
∴9b_nb_n+1+1是完全平方数．

点评 本题考查数列{b_n}中9b_nb_n+1+1是完全平方数的证明，是中档题，解题时要注意递推思想、数学归纳法的合理运用，解题的关键是合理猜想9b_nb_n+1+1=（b_n+b_n+1）²．