Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=

a 2 n

2an+1

(n∈N*)
（I）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记bn=

1

log2( an+1 an )

，若对于任意正整数n都有1-2nsinbn+1＜

1

2n+1

+λ2n成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）直接利用递推公式，令n=1，n=2计算
（Ⅱ）原式两边取倒数，

1

an+1

=

2an+1

an2

=

2

an

+

1

an2

⇒

1

an+1

+1=(

1

an

+1)2，再取对数，构造出lg(

1

an

+1)=2n-1lg(1+1)．据此求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）bn=

1

log2( an+1 an )

=

1

log222n-1

=

1

2n-1

，分离常数，变为λ＞y 恒成立的形式，故λ大于y的最大值，利用y 的单调性确定它的最大值．

解答：解：（I）a2=

1

2×1+1

=

1

3

，a3=

( 1 3 )2

2× 1 3 +1

=

1

15

（Ⅱ）原式两边取倒数，则

1

an+1

=

2an+1

an2

=

2

an

+

1

an2

⇒

1

an+1

+1=(

1

an

+1)2
上式两边取对数，则lg(

1

an+1

+1)=2lg(

1

an

+1)⇒lg(

1

an

+1)=2n-1lg(1+1)
解得an=

1

22n-1-1

（Ⅲ）bn=

1

log2( an+1 an )

=

1

log222n-1

=

1

2n-1

由题中不等式解得，λ＞

1-2nsin 1 2n - 1 2n+1

2n

=

1

2n

-sin

1

2n

-

1

22n+1

对于任意正整数均成立
注意到

1

2n

∈(0，

1

2

]，构造函数f(x)=x-sinx-

1

2

x2，x∈(0，

1

2

]
则f′(x)=1-cosx-x，x∈(0，

1

2

]设函数g(x)=1-cosx-x，x∈(0.

1

2

]
由g'（x）=sinx-1＜0对x∈(0，

1

2

]成立，得g（x）=1-cosx-x为(0，

1

2

]上的减函数，
所以g（x）_max＜g（0）=0即f'（x）＜0对x∈(0，

1

2

]成立，因此f（x）为(0，

1

2

]上的减函数，
即f（x）_max＜f（0）=0，故λ≥0

点评：本题主要考查数列通项公式求解、不等式恒成立问题．用到对数的运算、函数与导数知识，需具有转化构造能力、计算能力、分析解决问题能力．