Question

如图,在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2AD.

(1)求证:BC⊥平面SAB.

(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的正弦值.

(3)若E为SC上异于S、C的任意一点,问在SD上是否存在一点F,使AF∥平面BED?试说明理由.

Answer 1

(1)证明:∵SA⊥面ABCD,

∴SA⊥BC.

∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC.

故BC⊥平面SAB.

(2)解:延长CD、BA交于点P,连结SP,

则SP为平面SCD与平面SAB的交线.

由条件计算可得∠BSP=90°,

由(1)BC⊥平面SAB,故SC⊥SP.

∴∠CSB就是平面SCD与平面SAB所成的二面角的平面角.

在Rt△CSB中,sin∠CSB=.

∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的正弦值为.

(3)解:在SD上存在点F,使得AF∥平面BED.

连结AC与BD交于点O,连结OE,

在△SAC中,过点A作AM∥OE交SC于点M,

在△SDC中过点M作ED的平行线与SD交于F,连结AF,

则面AMF∥面EBD.

又AF平面AMF,故AF∥平面BED.

∴在SD上存在一点F,使AF∥平面BED.