Question

(理)设A、B分别为椭圆=1(a、b＞0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.

(1)求椭圆的方程;

(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内.

(文)已知数列{a_n}中,a₁=,a_n=2(n≥2,n∈N^*),数列{b_n}满足b_n=(n∈N^*).

(1)求证:数列{b_n}是等差数列;

(2)求数列{a_n}中的最大项与最小项,并说明理由.

Answer 1

答案：(理)解：(1)依题意得a=2c,=4,解得a=2,c=1,从而b=.

故椭圆的方程为=1.

(2)解法一:由(1)得A(-2,0),B(2,0).设M(x₀,y₀),∵M点在椭圆上,∴y₀²=(4-x₀²).①

又点M异于顶点A、B,∴-2＜x₀＜2,由P、A、M三点共线可得P(4,).

从而=(x₀-2,y₀),=(2,).

∴=2x₀-4+(x₀²-4+3y₀²).②

将①代入②,化简得=(2-x₀).

∵2-x₀＞0,∴＞0,则∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内.

解法二:由(1)得A(-2,0),B(2,0).设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则-2＜x₁＜2,-2＜x₂＜2,又MN的中点Q的坐标为(),

依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差:|BQ|²-|MN|²=(-2)²+()²-［(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²］=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂,③

又直线AP的方程为y=(x+2),直线BP的方程为y=(x-2),而两直线AP与BP的交点P在准线x=4上,∴,即y₂=.④

又点M在椭圆上,则=1,即y₁²=(4-x₁²).⑤

于是将④⑤代入③,化简后可得|BQ|²-|MN|²=(2-x₁)(x₂-2)＜0.

从而,点B在以MN为直径的圆内.

(文)(1)证明:b_n=,

而b_n-1=,

∴b_n-b_n-1==1(n∈N^*).

∴{b_n}是首项为b₁==-,公差为1的等差数列.

(2)解：依题意有a_n-1=,而b_n=-+(n-1)·1=n-3.5,∴a_n-1=.

函数y=在(3.5,+∞)上为减函数,在(-∞,3.5)上也为减函数.

故当n=4时,a_n=1+取最大值3,n=3时,取最小值-1.