Question

（2013•广州一模）函数y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）是（　　）

• A．奇函数且在[0，

  π

  2

  ]上单调递增
• B．奇函数且在[

  π

  2

  ，π]上单调递增
• C．偶函数且在[0，

  π

  2

  ]上单调递增
• D．偶函数且在[

  π

  2

  ，π]上单调递增

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简函数的解析式为-cos2x，可得函数为偶函数，再求出函数的单调区间，从而得出结论．

解答：解：由于函数y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin²x-cos²x=-cos2x，故函数为偶函数，
故排除A、B．
令 2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，故函数的减区间为[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈z，故函数的增区间为[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z，
故选C．

点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．