Question

已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称．

（Ⅰ）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a＞0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值．

Answer 1

解：（1）由函数f（x）图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

则g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n;

而g（x）图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0．

于是f′（x）＝3x²-6x=3x（x-2）．

由f′（x）>0得x>2或x<0,

故f（x）的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′（x）<0得0<x<2,

故f（x）的单调递减区间是（0，2）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）＝3x（x-2）,

令f′（x）＝0得x=0或x=2．

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞．0）	0	（0,2）	2	（2,+ ∞）
f′（x）	+	0	－	0	＋
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由此可得：

当0<a<1时，f（x）在（a-1,a+1）内有极大值f（0）=-2,无极小值；

当a=1时，f（x）在（a-1,a+1）内无极值；

当1<a<3时，f（x）在（a-1,a+1）内有极小值f（2）＝－6，无极大值；

当a≥3时，f（x）在（a-1,a+1）内无极值．

综上得：当0<a<1时，f（x）有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f（x）有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f（x）无极值．