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已知函数f(x)(x∈R)的一段图象如图所示,f′(x)是函f(x)(数的导函数,且y=f(x+1)是奇函数,给出以下结论:
①f(1-x)+f(1+x)=0;
②f′(x)(x-1)≥0;
③f(x)(x-1)≥0;
④f(x)+f(-x)=0
其中一定正确的是


  1. A.
    ①③
  2. B.
  3. C.
    ②③
  4. D.
D
分析:y=f(x+1)是奇函数,y=f(x+1)的图象关于原点对称y=f(x)的图象关于(1,0)对称.f(1-x)+f(1+x)=0,故①正确,④不正确,根据函数的单调性和函数的值得到②③不正确.
解答:∵y=f(x+1)是奇函数,
∴y=f(x+1)的图象关于原点对称,
∴y=f(x)的图象关于(1,0)对称.
∴f(1-x)+f(1+x)=0,故①正确,④不正确,
∵f′(x)是函f(x)的导函数.
函数的图象是单调递增的,
∴f′(x)恒大于0,
∴f′(x)(x-1)≥0不正确,即②不正确,
f(x)(x-1)≥0不正确,
综上可知只有①正确,
故选D.
点评:本题看出函数的奇偶性和函数的图象即函数的导函数与单调性的关系,本题解题的关键是看出函数的对称中心,本题是一个基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)的定义域为R,且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当x∈[16,20]时,函数g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N,求N的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年重庆市西南师大附中高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=log2(x+1),当点 (x,y) 是函数y=f (x) 图象上的点时,点是函数y=g(x) 图象上的点.
(1)写出函数y=g (x) 的表达式;
(2)当g(x)-f (x)≥0时,求x的取值范围;
(3)当x在 (2)所给范围内取值时,求g(x)-f(x)的最大值.

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科目:高中数学 来源:2007年上海市徐汇区零陵中学高三3月综合练习数学试卷(五)(解析版) 题型:解答题

(1)已知函数f(x)=ax-x(a>1).
①若f(3)<0,试求a的取值范围;
②写出一组数a,x(x≠3,保留4位有效数字),使得f(x)<0成立;
(2)在曲线上存在两个不同点关于直线y=x对称,求出其坐标;若曲线(p≠0)上存在两个不同点关于直线y=x对称,求实数p的范围;
(3)当0<a<1时,就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题,并取加以研究.当0<a<1时,就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题,并加以解决.(说明:①函数f(x)=xlnx有如下性质:在区间上单调递减,在区间上单调递增.解题过程中可以利用;②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分.)

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科目:高中数学 来源:2006年高考第一轮复习数学:2.10 函数的最值(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)的定义域为R,且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当x∈[16,20]时,函数g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N,求N的最小值.

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