Question

11．设a，b，c大于0，则3个数：$a+\frac{1}{b}$+1，$b+\frac{1}{c}$+1，$c+\frac{1}{a}$+1的值（　　）

• A． 都大于3
• B． 至多有一个不大于3
• C． 都小于3
• D． 至少有一个不小于3

Answer 1

分析 利用反证法：假设3个数：$a+\frac{1}{b}$+1，$b+\frac{1}{c}$+1，$c+\frac{1}{a}$+1都小于3，再利用基本不等式的性质得出矛盾．

解答 解：假设3个数：$a+\frac{1}{b}$+1，$b+\frac{1}{c}$+1，$c+\frac{1}{a}$+1都小于3，
则9＞$a+\frac{1}{b}$+1+$b+\frac{1}{c}$+1+$c+\frac{1}{a}$+1≥3+2$\sqrt{a×\frac{1}{a}}$+2$\sqrt{b•\frac{1}{b}}$+2$\sqrt{c•\frac{1}{c}}$=9，
推出矛盾，因此假设不成立．
∴3个数：$a+\frac{1}{b}$+1，$b+\frac{1}{c}$+1，$c+\frac{1}{a}$+1的值至少有一个不小于3．
故选：D．

点评 本题考查了反证法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．