Question

20．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1截得的最大弦长是（　　）

• A． 4
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．

解答 解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，
因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，
设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）
∴|PQ|²=（2cosθ）²+（sinθ-1）²=-3sin²θ-2sinθ+5，
∴当sinθ=-$\frac{1}{3}$时，|PQ|²_max=$\frac{16}{3}$，
∴直线被椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1截得的最大弦长|PQ|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值．