Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，F₁为椭圆的左焦点．
（1）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点；
（2）试求椭圆C上是否存在点P，使F₁APB为平行四边形？若存在，求出F₁APB的面积，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知2b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（1）设过M（2，0）的直线l：y=k（x-2），与椭圆联立，得（1+2k²）x-8k²x-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点的对称、直线方程等知识结合已知条件能证明直线l过定点（1，0）．
（2）椭圆左焦点F₁（-1，0），设AB的中点N（x₀，y₀），假设存在点P（x₃，y₃）使F₁APB为平行四边形，则N是F₁P的中点，由此利用椭圆性质、弦长公式、点到直线距离公式能求出平行四边形F₁APB的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，
∴由题意知2b=2，解得b=1，
∵离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²=2a²-2b²，解得a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
证明：（Ⅱ）（1）设过M（2，0）的直线l：y=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x-8k²x-2=0，
∵直线与椭圆交于两点，∴△＞0，即0＜k²＜$\frac{1}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵B点关于x轴的对称点是N，∴N（x₂，-y₂），
设直线AN：y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）满足直线l：y=k（x-2），
∴y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁）+y₁
=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}{x}_{1}$+$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$y₁
=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}x-\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$[（x₁+x₂-4）x-2（x₁x₂-（x₁+x₂））]
=-$\frac{4k}{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+2{k}^{2}）}（x-1）$，
∴直线l过定点（1，0）．
解：（2）椭圆左焦点F₁（-1，0），设AB的中点N（x₀，y₀），
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{0}=k（{x}_{0}-2）=\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，
假设存在点P（x₃，y₃）使F₁APB为平行四边形，则N是F₁P的中点，
∴x₃-1=2x₀，y₃=2y₀，即${x}_{3}=\frac{1+10{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{3}=\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$，
∵P（x₃，y₃）在椭圆C上，∴$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{2}+{{y}_{3}}^{2}$=1．
整理，得92k⁴+44k²-1=0，解得${k}^{2}=\frac{1}{46}$或k²=-$\frac{1}{2}$（舍），
∵0≤${k}^{2}＜\frac{1}{2}$，∴${k}^{2}=\frac{1}{46}$，
此时，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{8-16{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
左焦点F₁（-1，0）到直线l：y=k（x-2）的距离d=$\frac{|-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{47}}$，
∴平行四边形F₁APB的面积S=2${S}_{△AB{F}_{1}}$=2×$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{\sqrt{22}}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点的对称、直线方程等知识点的合理运用．