Question

15．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）过点（{2，\sqrt{2}}）$，其焦点在⊙O：x²+y²=4上，A，B是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M，N分别是椭圆C和⊙O上的动点（M，N不在y轴同侧），且直线MN与y轴垂直，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，求证：PN⊥QN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得焦点为（±2，0），可得c=2，由点满足椭圆方程，即可得到所求方程；
（Ⅱ）令M（m，t），N（n，t），（m＜0，n＞0），可得m²+2t²=8，n²+t²=4，设P（0，p），Q（0，q），运用三点共线，可得p，q，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简整理即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得焦点为（±2，0），
可得c=2，即a²-b²=4，
又$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：令M（m，t），N（n，t），（m＜0，n＞0），
可得m²+2t²=8，n²+t²=4，
可得A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
设P（0，p），Q（0，q），
由A，M，P三点共线可得k_AM=k_AP，
即有$\frac{t}{m+2\sqrt{2}}$=$\frac{p}{2\sqrt{2}}$，可得p=$\frac{2\sqrt{2}t}{m+2\sqrt{2}}$；
由B，M，Q三点共线可得k_BM=k_BQ，
即有$\frac{t}{m-2\sqrt{2}}$=$\frac{q}{-2\sqrt{2}}$，可得q=$\frac{-2\sqrt{2}t}{m-2\sqrt{2}}$．
由k_PN•k_QN=$\frac{t-\frac{2\sqrt{2}t}{m+2\sqrt{2}}}{n}$•$\frac{t-\frac{-2\sqrt{2}t}{m-2\sqrt{2}}}{n}$
=$\frac{{m}^{2}{t}^{2}}{{n}^{2}（{m}^{2}-8）}$，
由m²+2t²=8，n²+t²=4，可得m²-8=-2t²，
n²=4-t²，m²=2（4-t²），即为m²=2n²，
可得$\frac{{m}^{2}{t}^{2}}{{n}^{2}（{m}^{2}-8）}$=$\frac{2{t}^{2}}{-2{t}^{2}}$=-1，
即有PN⊥QN．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．