Question

6．设函数f（x）=ax-（a+1）lnx-$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）当a≤0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）至少有3个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极值，通过判断极值的大小，从而确定函数是否有3个零点．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=a-$\frac{a+1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∵a≤0，∴ax-1＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=a-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a≤0时，显然函数没有零点，
0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞）递增，在（1，$\frac{1}{a}$）递减，
f（x）_极大值=f（1）=a-1＜0，
此时，不满足f（x）至少有3个零点，
a=1时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不合题意，
a＞1时，$\frac{1}{a}$＜1，令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{a}$或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{1}{a}$，1）递减，
f（x）_极小值f（1）=a-1＞0，
此时，不满足f（x）至少有3个零点，
综上，不存在实数a，使f（x）至少有3个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．