Question

14．解不等式$\frac{（x+4a）（x-6a）}{2a+1}$＞0（a为常数，a≠-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根据一元二次不等式的解法的，对a进行讨论即可．

解答 解：由$\frac{（x+4a）（x-6a）}{2a+1}$=0得x=6a，或-4a，
（1）若2a+1＞0，即a＞-$\frac{1}{2}$时，不等式$\frac{（x+4a）（x-6a）}{2a+1}$＞0，等价为（x+4a）（x-6a）＞0，
若a=0，则不等式等价为x²＞0，则不等式的解集为{x|x≠0}，
若a＞0，不等式$\frac{（x+4a）（x-6a）}{2a+1}$＞0，等价为（x+4a）（x-6a）＞0，即x＞6a或x＜-4a，即不等式的解集为（-∞，-4a）∪（6a，+∞），
若-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，由（x+4a）（x-6a）＞0，即x＞-4a或x＜6a，即不等式的解集为（-∞，6a）∪（-4a，+∞），
（2）若2a+1＜0，即a＜-$\frac{1}{2}$时，不等式$\frac{（x+4a）（x-6a）}{2a+1}$＞0，等价为（x+4a）（x-6a）＜0，
即6a＜x＜-4a，则不等式的解集为（6a，-4a），
综上所述，若a＜-$\frac{1}{2}$时，不等式的解集为（6a，-4a），
若-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，不等式的解集为（-∞，6a）∪（-4a，+∞），
若a=0，不等式的解集为{x|x≠0}，
若a＞0，不等式的解集为（-∞，-4a）∪（6a，+∞）．

点评 本题主要考查不等式的解法，根据一元二次不等式的解法是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．