Question

11．（重点中学做）已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（3，1），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A，B是所围成的矩形在x轴上方的两个顶点．若P，Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为P₁、Q₁，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、0B的斜率之积，试问四边形PQP₁Q₁的面积是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由（0为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）由离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可得，四条垂线的方程为x=±2$\sqrt{3}$，y=±2，A（2$\sqrt{3}$，2），B（-2$\sqrt{3}$，2），可得k_OA•k_OB=-$\frac{1}{3}$，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用椭圆方程，求得x₁²+x₂²=12，讨论若x₁=x₂，若x₁≠x₂，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，以及椭圆的对称性，计算即可得到所求面积为定值．

解答 解：（1）由e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-e²=$\frac{1}{3}$，即a²=3b²，
又$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由题意可得，四条垂线的方程为x=±2$\sqrt{3}$，y=±2，
A（2$\sqrt{3}$，2），B（-2$\sqrt{3}$，2），
可得k_OA•k_OB=-$\frac{1}{3}$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，
由P，Q在椭圆上，可得y₁²=4（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}$），y₂²=4（1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}$），
由x₁²x₂²=9y₁²y₂²=（12-x₁²）（12-x₂²），即有x₁²+x₂²=12，
若x₁=x₂，则P，P₁，Q，Q₁分别是直线OA，OB与椭圆的交点，
四个点的坐标为（$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$），（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$），
四边形PQP₁Q₁的面积为8$\sqrt{3}$；
若x₁≠x₂，则直线PQ：y-y1=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x1），
化为（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
则O到直线PQ的距离为d=$\frac{|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{\sqrt{（（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}+（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}}$，
即有△OPQ的面积为S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4{{x}_{1}}^{2}（1-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}）+\frac{2}{3}（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}+4{{x}_{2}}^{2}（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}）}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
由椭圆的对称性可得，四边形PQP₁Q₁的面积为4S=8$\sqrt{3}$．
综上可得，四边形PQP₁Q₁的面积定值8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查四边形面积是否为定值，注意运用分类讨论的思想方法，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于难题．