Question

20．椭圆C的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，离心率与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$离心率互为倒数，且过$（{\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$点，设E、F分别为椭圆的左右焦点．
（Ⅰ）求出椭圆方程；
（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l₁与椭圆C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；
（Ⅲ）直线l₂：x=ty+1与曲线C交与A、B两点，试问：当t变化时，是否存在一条直线l₂，使△ABE的面积为$2\sqrt{3}$？若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{4{y^2}}}{{3{a^2}}}=1$，推导出a²=4，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设直线为y=kx+2，联立直线l₁和椭圆方程，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用韦达定理、圆的直径的性质、向量垂直性质，能求出直线方程．（Ⅲ）由方程组$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式能推导出不存在直线l满足题意．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的离心率为2
∴椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$
设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，b²=a²-c²，
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{4{y^2}}}{{3{a^2}}}=1$
椭圆过$（\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$点，∴$\frac{3}{a^2}+\frac{{4×\frac{3}{4}}}{{3{a^2}}}=1$，解得a²=4，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）直线l₁斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2
联立直线l₁和椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由△＞0，得${k^2}＞\frac{1}{4}$（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$（1）
∵以PQ直径的圆恰过原点，∴OP⊥OQ，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，
即x₁x₂+y₁y₂=0，也即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
将（1）式代入，得$\frac{{4（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}-\frac{32k}{{3+4{k^2}}}+4=0$，
即4（1+k²）-32k²+4（3+4k²）=0，
解得${k^2}=\frac{4}{3}$，满足（*）式，∴$k=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…（8分）
（Ⅲ）由方程组$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0（*），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=-\frac{6t}{{3{t^2}+4}}，{y_1}•{y_2}=-\frac{9}{{3{t^2}+4}}＜0$，

∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{{{（-\frac{6t}{{3{t^2}+4}}）}^2}-4（-\frac{9}{{3{t^2}+4}}）}=\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}$，
∵直线l：x=ty+1过点F（1，0），
∴△ABE的面积${S_{△ABE}}=\frac{1}{2}|{EF}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}×2×\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}=\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}$$令\frac{{12\sqrt{{t^2}+1}}}{{3{t^2}+4}}=2\sqrt{3}$，
则${t^2}=-\frac{2}{3}$不成立，故不存在直线l满足题意．…（13分）

点评 本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、椭圆性质、直线和椭圆位置关系的合理运用．