Question

10． 如图，设椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₁的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF₂的内切圆的面积为π，设A（x₁，y₁）、B（（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由已知△ABF₂内切圆半径r=1．，从而求出△ABF₂，再由ABF₂面积=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c，能求出|y₁-y₂|．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，
过焦点F₁的直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，△ABF₂的内切圆的面积为π，
∴△ABF₂内切圆半径r=1．
△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$×1×（AB+AF₂+BF₂）=2a=10，
∴ABF₂面积=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c=.$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2×3=10，
∴|y₁-y₂|=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．