Question

3．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=-x²-ax．
（1）若a=-2，设函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≤0}\\{f（x），x＞0}\end{array}\right.$，若|F（x）|≥mx恒成立，求m的取值
（2）若函数G（x）=xf（x-1）+ag（x）+a²x有两个极值点，x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：G（x₁）＜0，G（x₂）＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数F（x）的表达式，作出函数|F（x）|和y=mx的图象，利用数形结合进行求解．
（2）先求出G（x）的表达式，求函数的导数G′（x），令G′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x₁，x₂?函数h（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点?h′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．

解答 解：（1）若a=-2，则g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1
当F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，}&{x≤0}\\{ln（x+1），}&{x＞0}\end{array}\right.$，若x=0，不等式|F（x）|≥mx恒成立，
作出函数|F（x）|的图象如图：
若m=0，则不等式恒成立，
若m＞0，则不等式不满足条件．
若m＜0，
则当x＞0时恒成立，
则当x＜0时，由y=|F（x）|=x²-2x，
则y′=2x-2，
则当x=0时，函数的切线k=-2，
要使当x＜0时，不等式恒成立，则-2≤m＜0，
综上-2≤m≤0．
（2）若函数G（x）=xf（x-1）+ag（x）+a²x=xlnx+a（-x²-ax）+a²x=xlnx-ax²=x（lnx-ax），
∵G′（x）=lnx+1-2ax，（x＞0）
令G′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x₁，x₂?函数h（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点?h′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
h′（x）=$\frac{1}{x}-2a=\frac{1-2ax}{x}$．
①当a≤0时，h′（x）＞0，G′（x）单调递增，因此h（x）=G′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$，
∵x$∈（0，\frac{1}{2a}）$，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增；$x∈（\frac{1}{2a}，+∞）$时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．
∴x=$\frac{1}{2a}$是函数h（x）的极大值点，则h（$\frac{1}{2a}$）＞0＞0，即$ln\frac{1}{2a}+1-1=-ln（2a）$＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即$0＜a＜\frac{1}{2}$．
故当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，h（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁＜$\frac{1}{2a}$＜x₂，又h（1）=1-2a＞0，
∴x₁＜1＜$\frac{1}{2a}$＜x₂，从而可知函数G（x）在区间（0，x₁）上递减，在区间（x₁，x₂）上递增，在区间（x₂，+∞）上递减．
∴G（x₁）＜G（1）=-a＜0，G（x₂）＞G（1）=-a＞-$\frac{1}{2}$．
故得G（x₁）＜0，G（x₂）＞-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，综合性较强，难度较大．