Question

18．若sinx+cosx=k，且sin³x+cos³x＜0，那么k取值范围是[-$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 对sinx+cosx=k两边平方得sinxcosx=$\frac{{k}^{2}-1}{2}$．使用立方和公式将sin³x+cos³x分解因式得到关于k的不等式．解出k；再利用和角公式k=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）得到k的范围，对不等式取交集即为k的范围．

解答 解：∵sinx+cosx=k，∴sinxcosx=$\frac{{k}^{2}-1}{2}$．
∵sin³x+cos³x＜0，∴（sinx+cosx）（sin²x-sinxcosx+cos²x）＜0，
即k（1-$\frac{{k}^{2}-1}{2}$）=$\frac{3-{k}^{2}}{2}$k＜0．
（1）若k＜0，则3-k²＞0，解得-$\sqrt{3}$＜k＜0；
（2）若k＞0，则3-k²＜0，解得k＞$\sqrt{3}$．
又∵k=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），∴-$\sqrt{2}$≤k≤$\sqrt{2}$．
∴k的取值范围是[-$\sqrt{2}$，0）．
故答案为[-$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了同角三角函数的关系，不等式的解法，因式分解得到关于k的不等式是解题关键．