Question

12．如图，设椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过焦点F₁的直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若△ABF₂的内切圆的面积为π，则|y₁-y₂|=3．

Answer 1

分析 由已知△ABF₂内切圆半径r=1．，从而求出△ABF₂，再由ABF₂面积=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c，能求出|y₁-y₂|．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，
过焦点F₁的直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，△ABF₂的内切圆的面积为π，
∴△ABF₂内切圆半径r=1．
△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$×1×（AB+AF₂+BF₂）=2a=6，
∴ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c=.$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2×2=6，
∴|y₁-y₂|=3．
故答案为：3．

点评 本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．