Question

7．已知函数f（x）=e^x-ax
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x≥0，f（x）-f（-x）≥0恒成立，求a的最大值；
（3）当a=1，解关于x的不等式：$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≤f（1）}\\{f（-x）≤f（1）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）在x=1处取得极值知a=e，切点（0，1）处的切线方程由点斜式可以直接给出．
（2）分离参数，构造新函数，由不等式的性质可得出a的范围．
（3）由函数的对称性得知两个图形重合时取之间值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=e^x-ax
∴f′（x）=e^x-a
∵函数f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=0
∴a=e
∴f′（x）=e^x-e
k=f′（0）=1-e
f（0）=1
∴函数y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y-1=（1-e）x．
（2）当x≥0，f（x）-f（-x）=e^x-e^-x-2ax≥0恒成立，
x=0时，0=0，上式成立．
x＞0时，原式等价于a≤$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2x}$恒成立．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2x}$，只需a≤g（x）的最小值即可．
∵g′（x）=$\frac{2x（{e}^{x}+{e}^{-x}）-2（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{（2x）^{2}}$
令φ（x）=x（e^x+e^-x）-e^x+e^-x
则φ′（x）=x（e^x-e^-x）
∵x≥0
∴φ′（x）≥0
∴φ（x）在x≥0是单调递增的，φ（x）的最小值为φ（0）=0
∴g′（x）≥0在x＞0恒成立
∴g（x）在x＞0上单调递增恒成立
g（x）的最小值大于0
∴a≤0
（3）∵f（x）与f（-x）关于y轴对称．
f（-1）=e^-1+1=$\frac{1}{e}$+1＜e-1
且f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）上单调递增
由对称性知，-1≤x≤1

点评 本题考查函数的导函数与函数的性质．而第三问比较巧妙的利用函数的对称性．