Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同的焦点F₁，F₂，两曲线的一个交点为P，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值为（　　）

• A． 3
• B． 7
• C． 11
• D． 21

Answer 1

分析 由题意可得m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的P的坐标，求出向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同焦点为（±3，0），
即有m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点P（$\frac{10}{3}$，$\frac{2\sqrt{20}}{3}$），
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-3-$\frac{10}{3}$，-$\frac{2\sqrt{20}}{3}$），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（3-$\frac{10}{3}$，-$\frac{2\sqrt{20}}{3}$），
即有$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-3-$\frac{10}{3}$）（3-$\frac{10}{3}$）+$\frac{80}{9}$
=$\frac{100}{9}$+$\frac{80}{9}$-9=11．
故选：C．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．