Question

11．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等差数列，则此椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}-2$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求得A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），运用等差数列的中项的性质和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等差数列，可得
2|F₁F₂|=|AF₁|+|F₁B|，
即为4c=（a-c）+（a+c），
即a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，以及等差数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．