Question

16．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sin（3ωx+\frac{π}{3}）\;（ω＞0）$，若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{7}{6}π$
• C． π
• D． $\frac{5}{6}π$

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，从而求得θ的值．

解答 解：函数$f（x）=2\sqrt{3}sin（3ωx+\frac{π}{3}）\;（ω＞0）$，若f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$）是周期为2π的偶函数，
∴$\frac{2π}{3ω}$=2π，且 3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，
结合所给的选项，则θ的一个可能值是$\frac{7π}{6}$，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．