Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点和椭圆的右焦点重合，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A，B，交抛物线于C，D，求△OAB和△OCD面积之比（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率、焦距及a，b，c间的相互关系列出方程组，由此能求出椭圆方程．
（2）过右焦点作斜率为1的直线为y=x-1，与椭圆联立，得3x²-4x=0，分别求出|AB|和|CD|，由此能求出△OAB和△OCD面积之比．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）∵椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦点F（1，0），
∴过右焦点作斜率为1的直线为y=x-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²-4x=0，
|AB|=$\sqrt{（1+1）（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，|CD|=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴△OAB和△OCD面积之比$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两个三角形面积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、弦长公式、抛物线性质的合理运用．