Question

14．设F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$成立的P点的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），由${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$和P（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$成立的P点的个数．

解答 解：设P（x₀，y₀），
∵F₁，F₂分别为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，
∴F₁（-4，0），F₂（4，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-4-x₀，-y₀），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（4-x₀，-y₀），
∵${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$，∴（-4-x₀）（4-x₀）+（-y₀）²=-7，即${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=9，①
又∵设P（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，②
联立①②，得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=-3}\end{array}\right.$，
∴使得${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$成立的P点的个数为2个．
故选：C．

点评 本题考查满足条件的点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．