Question

6．已知函数$f（x）=\frac{x^3}{3}-{x^2}-2ax（a∈R）$．
（1）若y=f（x）在（3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若$a=-\frac{1}{2}$，设g（x）=ln（1-x）+f（x），且方程$g（1-x）=\frac{{{{（1-x）}^3}}}{3}+\frac{b}{x}$有实根，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=x²-2x-2a≥0在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；
（2）化简方程可得$lnx+x-{x^2}=\frac{b}{x}$，从而化为b=x（lnx+x-x²）在（0，+∞）上有解，从而讨论函数p（x）=x（lnx+x-x²）的值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）在区间（3，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=x²-2x-2a≥0，
即2a≤x²-2x在区间（3，+∞）上恒成立．
∵在（3，+∞）内，x²-2x＜3；
∴2a≤3，即$a≤\frac{3}{2}$．
（2）∵$g（1-x）=\frac{{{{（1-x）}^3}}}{3}+\frac{b}{x}$，
∴$lnx+x-{x^2}=\frac{b}{x}$，
∴b=x（lnx+x-x²），
令p（x）=x（lnx+x-x²），
即求函数p（x）=x（lnx+x-x²）在（0，+∞）上的值域．
令h（x）=lnx+x-x²，
则$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$，
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时h′（x）＜0，
从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，
因此h（x）≤h（1）=0．
又∵x＞0，
故p（x）=x•h（x）≤0，
∴b≤0，
因此当x=1时，b取得最大值0．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了转化思想的应用及方程与函数的关系应用．