Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b，过点P作两条互相垂直的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于另两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l₁的斜率为-1，求△PMN的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意推导出$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，且c²=2b²，再由a，b，c之间的关系，能求出椭圆C的方程．
（2）由于直线l₁的斜率已确定，则可由其与椭圆联立方程组，求出点M的坐标，因两直线垂直，当k≠0时，用$-\frac{1}{k}$代替k，进而求出点N的坐标，得M（-2，0），N（1，1），再由两点意距离公式能求出△PMN的面积．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b，
过点P作两条互相垂直的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于另两点M，N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=2{b}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b²=$\frac{4}{3}$，a²=4．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设l₁方程为y+1=k（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k-1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．
∵P（-1，1），解得M（$\frac{-3{k}^{2}+6k+1}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{3{k}^{2}+2k-1}{1+3{k}^{2}}$）．
当k≠0时，用-$\frac{1}{k}$代替k，得N（$\frac{{k}^{2}-6k-3}{3+{k}^{2}}$，$\frac{-{k}^{2}-2k+3}{3+{k}^{2}}$），
将k=1代入，得M（-2，0），N（1，1），
∵P（-1，-1），∴PM=$\sqrt{2}$，PN=2$\sqrt{2}$，
∴△PMN的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．