Question

5．已知递增的等差数列{a_n}中，a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-$\frac{1}{2}{b_n}（{n∈{N^*}}）$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）解方程可得a₂=3，a₅=9，从而求得a_n=2n-1；讨论n以确定b₁=$\frac{2}{3}$；n≥2时b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1，从而解得{b_n}的通项公式；
（2）化简c_n=a_n•b_n=2（$\frac{1}{3}$）ⁿ•（2n-1），从而利用错位相减法求数列的前n项和即可．

解答 解：（1）∵x²-12x+27=0，
∴x=3或x=9，
又∵等差数列{a_n}是递增数列，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a₂=3，a₅=9，
∴a_n=2n-1；
①当n=1时，b₁=1-$\frac{1}{2}$b₁，
故b₁=$\frac{2}{3}$；
②当n≥2时，S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n，S_n-1=1-$\frac{1}{2}$b_n-1，
故b_n=（1-$\frac{1}{2}$b_n）-（1-$\frac{1}{2}$b_n-1），
故b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1，
故{b_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
故b_n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=2（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
（2）证明：c_n=a_n•b_n=2（$\frac{1}{3}$）ⁿ•（2n-1），
T_n=$\frac{2}{3}$•1+$\frac{2}{9}$•3+$\frac{2}{27}$•5+…+2（$\frac{1}{3}$）ⁿ•（2n-1），
3T_n=2•1+$\frac{2}{3}$•3+$\frac{2}{9}$•5+$\frac{2}{27}$•7+…+2（$\frac{1}{3}$）^n-1•（2n-1），
故2T_n=2+$\frac{2}{3}$•2+$\frac{2}{9}$•2+$\frac{2}{27}$•2+…+4（$\frac{1}{3}$）^n-1-2（$\frac{1}{3}$）ⁿ•（2n-1），
故T_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+2（$\frac{1}{3}$）^n-1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ•（2n-1）
=1+$\frac{\frac{2}{3}（1-（\frac{1}{3}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{3}}$-（$\frac{1}{3}$）ⁿ•（2n-1）
=2-（$\frac{1}{3}$）^n-1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ•（2n-1）＜2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了错位相减法的应用．